Vielfache und Teiler, gerade und ungerade Zahlen

Was ist ein Vielfaches?

Ein Vielfaches einer Zahl erhält man, indem man sie mit einer ganzen Zahl (0, 1, 2, 3…) multipliziert. Die Vielfachen von 4 sind zum Beispiel alle Ergebnisse des Einmaleins mit 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20… — und diese Liste endet nie, jede Zahl hat unendlich viele Vielfache.

Was ist ein Teiler?

Ein Teiler einer Zahl ist eine ganze Zahl, die sie exakt teilt, ohne Rest. 3 ist ein Teiler von 12, denn 12 ÷ 3 = 4 genau (Rest 0). 5 hingegen ist KEIN Teiler von 12, denn 12 ÷ 5 = 2 Rest 2.

Anders als bei den Vielfachen gibt es bei den Teilern einer Zahl nur eine begrenzte Anzahl. 12 hat genau sechs Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12.

Der Zusammenhang zwischen Vielfachen und Teilern

Multiplizieren und Dividieren sind Umkehroperationen — deshalb sind es auch Vielfache und Teiler. „3 ist ein Teiler von 12“ zu sagen, ist genau dasselbe wie zu sagen „12 ist ein Vielfaches von 3“. Es ist dieselbe Beziehung, nur von zwei Seiten betrachtet.

1. 12 ÷ 3 = 4, ohne Rest → 3 teilt 12 → 3 ist ein Teiler von 12.
2. 3 × 4 = 12 → durch Multiplizieren mit 3 kommt man wieder auf 12 → 12 ist ein Vielfaches von 3 (und von 4).

Dieser Zusammenhang macht Vielfache und Teiler so nützlich beim Kürzen eines Bruchs: Ein gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner lässt sich finden, um den Bruch zu kürzen, ohne seinen Wert zu ändern.

Gerade und ungerade Zahlen

Eine Zahl ist gerade, wenn sie ein Vielfaches von 2 ist, sich also in zwei genau gleich große Gruppen aufteilen lässt. Sonst ist sie ungerade — dann bleibt beim Aufteilen in zwei Gruppen immer 1 übrig.

Man muss dafür nicht wirklich teilen: Es reicht, die letzte Ziffer (die Einerziffer) der Zahl anzuschauen.

• Letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 → die Zahl ist gerade (z. B. 348, 1 250).
• Letzte Ziffer 1, 3, 5, 7 oder 9 → die Zahl ist ungerade (z. B. 347, 1 251).

Alle Teiler einer Zahl finden

Damit keiner übersehen wird, testet man ganze Zahlen der Reihe nach ab 1 und notiert sich jedes Mal das Teilerpaar, das zusammengehört (die getestete Zahl und das Ergebnis der Division).

Beispiel: alle Teiler von 24.

1. 24 ÷ 1 = 24 → 1 und 24 sind Teiler.
2. 24 ÷ 2 = 12 → 2 und 12 sind Teiler.
3. 24 ÷ 3 = 8 → 3 und 8 sind Teiler.
4. 24 ÷ 4 = 6 → 4 und 6 sind Teiler.
5. 24 ÷ 5: Rest 4, kein Teiler — hier kann man aufhören, da man bereits über 4 (die Quadratwurzel von 24) hinaus ist, sodass alles Weitere schon gefunden wurde.

Tricks, um ein Vielfaches zu erkennen

• Vielfaches von 2: die Zahl ist gerade (letzte Ziffer 0, 2, 4, 6, 8).
• Vielfaches von 5: die Zahl endet auf 0 oder 5.
• Vielfaches von 10: die Zahl endet auf 0.
• Vielfaches von 3: die Quersumme (Summe der Ziffern) ist ein Vielfaches von 3 (z. B. 141 → 1+4+1=6, ein Vielfaches von 3 → also auch 141).

Fehler vermeiden

• Vielfaches und Teiler verwechseln: ein Vielfaches ist IMMER größer oder gleich der Ausgangszahl, ein Teiler IMMER kleiner oder gleich.
• 1 und die Zahl selbst in der Teilerliste vergessen.
• Bei der Suche nach Teilern zu früh aufhören, ohne bis zur Quadratwurzel der Zahl zu testen.
• Auf die ganze Zahl statt nur auf die letzte Ziffer schauen, um zu entscheiden, ob sie gerade oder ungerade ist.

Gelöste Übungen