Multiples et diviseurs, nombres pairs et impairs

Qu'est-ce qu'un multiple ?

Un multiple d'un nombre s'obtient en le multipliant par un nombre entier (0, 1, 2, 3…). Les multiples de 4, par exemple, sont tous les résultats de la table de 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20… — et cette liste ne s'arrête jamais, il y a une infinité de multiples pour chaque nombre.

Qu'est-ce qu'un diviseur ?

Un diviseur d'un nombre est un nombre entier qui le divise exactement, sans laisser de reste. 3 est un diviseur de 12 car 12 ÷ 3 = 4 pile (reste 0). En revanche, 5 n'est PAS un diviseur de 12, car 12 ÷ 5 = 2 reste 2.

Contrairement aux multiples, les diviseurs d'un nombre sont en nombre limité. 12 a exactement six diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Le lien entre multiples et diviseurs

Multiplier et diviser sont deux opérations inverses — multiples et diviseurs le sont donc aussi. Dire « 3 est un diviseur de 12 » revient exactement à dire « 12 est un multiple de 3 ». C'est la même relation, vue des deux côtés.

1. 12 ÷ 3 = 4, sans reste → 3 divise 12 → 3 est un diviseur de 12.
2. 3 × 4 = 12 → en multipliant 3, on retombe sur 12 → 12 est un multiple de 3 (et de 4).

C'est ce lien qui rend les multiples et diviseurs si utiles pour simplifier une fraction : trouver un diviseur commun au numérateur et au dénominateur permet de réduire la fraction sans changer sa valeur.

Nombres pairs et nombres impairs

Un nombre est pair s'il est un multiple de 2, c'est-à-dire s'il peut se partager en deux groupes parfaitement égaux. Sinon, il est impair — il reste toujours 1 en trop quand on essaie de le partager en deux.

Pas besoin de faire la division pour le savoir : il suffit de regarder le dernier chiffre (le chiffre des unités) du nombre.

• Dernier chiffre 0, 2, 4, 6 ou 8 → le nombre est pair (ex. 348, 1 250).
• Dernier chiffre 1, 3, 5, 7 ou 9 → le nombre est impair (ex. 347, 1 251).

Trouver tous les diviseurs d'un nombre

Pour ne pas en oublier, on teste les nombres entiers un par un en partant de 1, et on note à chaque fois les deux diviseurs qui vont ensemble (le nombre testé et le résultat de la division).

Exemple : tous les diviseurs de 24.

1. 24 ÷ 1 = 24 → 1 et 24 sont diviseurs.
2. 24 ÷ 2 = 12 → 2 et 12 sont diviseurs.
3. 24 ÷ 3 = 8 → 3 et 8 sont diviseurs.
4. 24 ÷ 4 = 6 → 4 et 6 sont diviseurs.
5. 24 ÷ 5 : reste 4, pas un diviseur — on peut s'arrêter, on a déjà dépassé 4 (racine carrée de 24) donc tout le reste a déjà été trouvé.

Astuces pour reconnaître un multiple

• Multiple de 2 : le nombre est pair (dernier chiffre 0, 2, 4, 6, 8).
• Multiple de 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.
• Multiple de 10 : le nombre se termine par 0.
• Multiple de 3 : la somme de ses chiffres est un multiple de 3 (ex. discussion 141 → 1+4+1=6, multiple de 3 → 141 l'est aussi).

Erreurs à éviter

• Confondre multiple et diviseur : un multiple est TOUJOURS plus grand ou égal au nombre de départ, un diviseur est TOUJOURS plus petit ou égal.
• Oublier 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.
• S'arrêter trop tôt en cherchant les diviseurs, en oubliant de tester jusqu'à la racine carrée du nombre.
• Regarder tout le nombre au lieu du seul dernier chiffre pour décider s'il est pair ou impair.

Exercices corrigés