Dzielniki i wielokrotności, liczby parzyste i nieparzyste

Co to jest wielokrotność?

Wielokrotność liczby otrzymujemy, mnożąc ją przez liczbę naturalną (0, 1, 2, 3…). Wielokrotności liczby 4 to na przykład wszystkie wyniki mnożenia przez 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20… — i ta lista nigdy się nie kończy, każda liczba ma nieskończenie wiele wielokrotności.

Co to jest dzielnik?

Dzielnik liczby to liczba naturalna, przez którą ta liczba dzieli się dokładnie, bez reszty. 3 jest dzielnikiem 12, bo 12 : 3 = 4 równo (reszta 0). Natomiast 5 NIE jest dzielnikiem 12, bo 12 : 5 = 2 reszty 2.

W przeciwieństwie do wielokrotności, dzielników liczby jest skończenie wiele. 12 ma dokładnie sześć dzielników: 1, 2, 3, 4, 6 i 12.

Związek między wielokrotnościami a dzielnikami

Mnożenie i dzielenie to działania odwrotne — więc wielokrotności i dzielniki też. Powiedzieć „3 jest dzielnikiem 12” to dokładnie to samo co „12 jest wielokrotnością 3”. To ta sama zależność, widziana z dwóch stron.

1. 12 : 3 = 4, bez reszty → 12 dzieli się przez 3 → 3 jest dzielnikiem 12.
2. 3 × 4 = 12 → mnożąc 3, dochodzimy do 12 → 12 jest wielokrotnością 3 (i 4).

Właśnie dzięki temu związkowi wielokrotności i dzielniki tak bardzo przydają się do skracania ułamków: wspólny dzielnik licznika i mianownika pozwala zmniejszyć ułamek bez zmiany jego wartości.

Liczby parzyste i nieparzyste

Liczba jest parzysta, jeśli jest wielokrotnością 2, czyli jeśli da się ją podzielić na dwie dokładnie równe grupy. W przeciwnym razie jest nieparzysta — przy dzieleniu na dwie części zawsze zostaje 1.

Żeby to sprawdzić, nie trzeba dzielić: wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę (cyfrę jedności) liczby.

• Ostatnia cyfra 0, 2, 4, 6 lub 8 → liczba jest parzysta (np. 348, 1250).
• Ostatnia cyfra 1, 3, 5, 7 lub 9 → liczba jest nieparzysta (np. 347, 1251).

Jak znaleźć wszystkie dzielniki liczby

Żeby żadnego nie pominąć, sprawdzamy liczby naturalne po kolei, zaczynając od 1, i za każdym razem zapisujemy dwa dzielniki tworzące parę (sprawdzaną liczbę i wynik dzielenia).

Przykład: wszystkie dzielniki liczby 24.

1. 24 : 1 = 24 → 1 i 24 są dzielnikami.
2. 24 : 2 = 12 → 2 i 12 są dzielnikami.
3. 24 : 3 = 8 → 3 i 8 są dzielnikami.
4. 24 : 4 = 6 → 4 i 6 są dzielnikami.
5. 24 : 5: reszta 4, to nie dzielnik — można skończyć, bo następny kandydat (6) już się znalazł w parze 4 × 6, więc wszystkie dzielniki są już znane.

Sposoby rozpoznawania wielokrotności

• Wielokrotność 2: liczba jest parzysta (ostatnia cyfra 0, 2, 4, 6, 8).
• Wielokrotność 5: liczba kończy się na 0 lub 5.
• Wielokrotność 10: liczba kończy się na 0.
• Wielokrotność 3: suma jej cyfr jest wielokrotnością 3 (np. 141 → 1+4+1=6, wielokrotność 3 → więc 141 też).

Błędy, których warto unikać

• Mylenie wielokrotności z dzielnikiem: wielokrotność (różna od zera) jest ZAWSZE większa od liczby wyjściowej lub jej równa, a dzielnik ZAWSZE mniejszy lub równy.
• Pomijanie 1 i samej liczby na liście dzielników.
• Zbyt wczesne kończenie poszukiwań, zanim sprawdzone kandydatury „spotkają się” z dzielnikami z drugiej strony par.
• Patrzenie na całą liczbę zamiast tylko na ostatnią cyfrę, gdy sprawdzamy, czy jest parzysta.

Ćwiczenia z rozwiązaniami