Die Rangfolge
Bei einer Rechnung mit mehreren Operationen wird niemals einfach von links nach rechts gerechnet. Diese genaue Reihenfolge muss eingehalten werden:
- Was in Klammern steht, ganz zuerst.
- Multiplikation und Division, von links nach rechts.
- Addition und Subtraktion, von links nach rechts.
Immer mit den Klammern beginnen
Klammern erlauben es, eine andere Reihenfolge zu erzwingen: Alles, was darin steht, muss zuerst berechnet werden, egal welche Operation.
(2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
Ohne Klammern würde 2 + 3 × 4 ein anderes Ergebnis liefern (siehe unten)
Ein vollständiges Beispiel
Berechnen wir 2 + 3 × 4 nach der Rangfolge.
- Hier gibt es keine Klammern.
- Man erkennt die Multiplikation: 3 × 4 = 12.
- Man schließt mit der Addition ab: 2 + 12 = 14.
2 + 3 × 4 = 14 (nicht 20)
Was bei gleichem Rang gilt
Folgen zwei Operationen gleichen Rangs aufeinander (zwei Multiplikationen, oder eine Multiplikation und eine Division), rechnet man sie einfach von links nach rechts, in der Reihenfolge, in der sie erscheinen.
20 ÷ 4 × 2 = 5 × 2 = 10
Division und Multiplikation haben den gleichen Rang → man geht von links nach rechts vor
Die Eigenschaften der Rechenarten
Bestimmte Eigenschaften erlauben es, eine Rechnung umzustellen, um sie zu vereinfachen, ohne das Ergebnis zu ändern.
- Kommutativgesetz der Addition: Die Reihenfolge der Summanden zu ändern, ändert nichts. 4 + 7 = 7 + 4. (Gilt auch für die Multiplikation: 3 × 6 = 6 × 3.)
- Assoziativgesetz der Addition: Man kann die Summanden anders gruppieren. (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5). (Gilt auch für die Multiplikation.)
- Distributivgesetz der Multiplikation: Eine Summe zu multiplizieren entspricht dem Multiplizieren jedes einzelnen Terms und anschließendem Addieren. 4 × (10 + 2) = 4 × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48.
Fehler vermeiden
- Von links nach rechts rechnen, ohne die Rangfolge zu beachten.
- Vergessen, Klammern zuerst zu behandeln, vor allem anderen.
- Glauben, eine Subtraktion dürfe einer davor stehenden Multiplikation „zuvorkommen“.
Gelöste Übungen
5 + 2 × 6
(8 − 3) × 4
18 − 4 × 3 + 2
Jetzt bist du dran!
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Zu den Übungen →Häufige Fragen
Welche Rechenreihenfolge gilt?
1) Was in Klammern steht, zuerst. 2) Punktrechnung (Multiplikation und Division), in der Reihenfolge, in der sie erscheinen, von links nach rechts. 3) Strichrechnung (Addition und Subtraktion), in der Reihenfolge, in der sie erscheinen, von links nach rechts.
Warum ergibt 2 + 3 × 4 nicht 20?
Weil die Multiplikation Vorrang vor der Addition hat: Zuerst wird 3 × 4 = 12 berechnet, dann 2 + 12 = 14. Wollte man wirklich (2 + 3) × 4 = 20 berechnen, müsste man Klammern setzen.
Was ist die Distributivität der Multiplikation?
Das ist eine Eigenschaft, mit der man eine Multiplikation auf eine Addition oder Subtraktion „verteilen“ kann: 4 × (10 + 2) = 4 × 10 + 4 × 2. Sie ist sehr nützlich beim Kopfrechnen, zum Beispiel 4 × 12 = 4 × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48.