Co to jest proporcjonalność?
Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy zawsze rosną (albo maleją) w tym samym stosunku. Przykład: cena paczek cukierków jest wprost proporcjonalna do liczby kupionych paczek — 2 paczki kosztują dwa razy więcej niż 1 paczka, 3 paczki trzy razy więcej i tak dalej.
Nie zawsze tak jest! Wzrost człowieka nie jest proporcjonalny do jego wieku (nie rośniemy w nieskończoność), a cena taksówki nie zawsze jest proporcjonalna do przejechanej drogi (często jest stała opłata początkowa).
Tabela proporcjonalności
Aby sprawdzić proporcjonalność, zapisujemy dane w tabeli z dwoma wierszami: jeden wiersz dla każdej wielkości.
| Liczba paczek | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| Cena w zł | 3 | 6 | 15 |
Cena jest wprost proporcjonalna do liczby paczek: w każdej kolumnie iloraz wynosi 3
Aby sprawdzić, czy tabela NAPRAWDĘ przedstawia proporcjonalność, dzielimy liczbę z drugiego wiersza przez liczbę z pierwszego, kolumna po kolumnie: jeśli wychodzi zawsze ta sama liczba, jest proporcjonalność. Tutaj: 3:1=3, 6:2=3, 15:5=3 → tabela przedstawia proporcjonalność.
Współczynnik proporcjonalności
Ta jedna liczba, która wychodzi za każdym razem (tutaj 3), to współczynnik proporcjonalności. Aby obliczyć dowolną brakującą wartość, wystarczy pomnożyć przez ten współczynnik.
Mnożenie na krzyż
Gdy współczynnik nie jest okrągłą liczbą (wygodną do liczenia w pamięci), stosujemy mnożenie na krzyż: mnożymy po przekątnej dwie liczby, które sobie odpowiadają, a potem dzielimy przez pozostałą liczbę.
Przykład: 4 długopisy kosztują 6 zł. Ile kosztuje 10 długopisów?
| Długopisy | 4 | 10 |
|---|---|---|
| Cena w zł | 6 | ? |
- Mnożę po przekątnej dwie znane liczby, które nie stoją w jednej linii: 6 × 10 = 60.
- Dzielę przez pozostałą liczbę (tę, która stoi w jednej linii z niewiadomą): 60 : 4 = 15 zł.
Błędy, których warto unikać
- Stosowanie proporcjonalności wszędzie, nawet gdy sytuacja do niej nie pasuje (na przykład abonament ze stałą opłatą początkową).
- Pomylenie przekątnej przy mnożeniu na krzyż.
- Brak sprawdzenia za pomocą współczynnika, czy wynik ma sens.
- Mylenie proporcjonalności ze zwykłym wzrostem: wielkość, która rośnie, nie musi być proporcjonalna do innej.
Ćwiczenia z rozwiązaniami
3 kg jabłek kosztują 6 zł. Ile kosztuje 5 kg?
Przepis dla 4 osób wymaga 200 g mąki. Ile mąki potrzeba dla 6 osób?
Czy ta tabela przedstawia proporcjonalność? 2→5, 4→9
Teraz Ty!
W EasyMaths Twoje dziecko bezpłatnie ćwiczy rozpoznawanie i rozwiązywanie zadań na proporcjonalność.
Zacznij ćwiczenia →Najczęstsze pytania
Jak rozpoznać wielkości wprost proporcjonalne?
Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy pomnożenie jednej z nich przez jakąś liczbę powoduje pomnożenie drugiej przez tę samą liczbę. W tabeli sprawdzamy, czy we wszystkich kolumnach wychodzi ten sam wynik, gdy podzielimy liczbę z drugiego wiersza przez liczbę z pierwszego.
Co to jest mnożenie na krzyż?
To sposób na znalezienie brakującej liczby w tabeli proporcjonalności z 4 polami: mnożymy po przekątnej dwie znane liczby, które sobie odpowiadają, a potem dzielimy przez czwartą liczbę.
W której klasie uczy się proporcjonalności?
Pierwsze sytuacje proporcjonalne (podwajanie, potrajanie) pojawiają się już w klasie 4. Tabelę proporcjonalności i współczynnik poznaje się w klasie 5, a mnożenie na krzyż w klasie 6.