¿Qué es la proporcionalidad?
Dos magnitudes son proporcionales cuando aumentan (o disminuyen) siempre en la misma proporción. Ejemplo: el precio de un paquete de caramelos es proporcional al número de paquetes comprados — 2 paquetes cuestan el doble que 1 paquete, 3 paquetes cuestan el triple, etc.
¡No siempre es así! La edad de una persona no es proporcional a su estatura (no se crece indefinidamente), y el precio de un taxi no siempre es proporcional a la distancia (suele haber un precio inicial fijo).
La tabla de proporcionalidad
Para comprobar una proporcionalidad, se organizan los datos en una tabla de dos filas: una fila para cada magnitud.
| Número de paquetes | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| Precio en € | 3 | 6 | 15 |
El precio es proporcional al número de paquetes: cada columna, dividida, da 3
Para comprobar que la tabla ES realmente proporcional, se divide la segunda fila entre la primera, columna por columna: si se obtiene siempre el mismo número, es proporcional. Aquí: 3÷1=3, 6÷2=3, 15÷5=3 → la tabla es efectivamente proporcional.
El coeficiente de proporcionalidad
Ese número único que se repite cada vez (aquí, 3) se llama el coeficiente de proporcionalidad. Para calcular cualquier valor que falte, basta con multiplicar por ese coeficiente.
El producto cruzado
Cuando el coeficiente no es un número redondo (fácil de calcular mentalmente), se usa el producto cruzado: se multiplican en diagonal los dos números que se corresponden, y luego se divide entre el número restante.
Ejemplo: 4 bolígrafos cuestan 6 €. ¿Cuánto cuestan 10 bolígrafos?
| Bolígrafos | 4 | 10 |
|---|---|---|
| Precio en € | 6 | ? |
- Multiplico en diagonal los dos números conocidos que no están alineados: 6 × 10 = 60.
- Divido entre el número restante (el que está alineado con la incógnita): 60 ÷ 4 = 15 €.
Errores que evitar
- Aplicar la proporcionalidad en todos los casos, incluso cuando la situación no se presta a ello (una tarifa con un precio fijo inicial, por ejemplo).
- Equivocarse de diagonal en el producto cruzado.
- Olvidar comprobar con el coeficiente si el resultado parece coherente.
- Confundir proporcionalidad con simple aumento: una magnitud que aumenta no es forzosamente proporcional a otra.
Ejercicios resueltos
3 kg de manzanas cuestan 6 €. ¿Cuánto cuestan 5 kg?
Una receta para 4 personas usa 200 g de harina. ¿Cuánto hace falta para 6 personas?
¿Es proporcional esta tabla? 2→5, 4→9
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¿Cómo reconocer una situación de proporcionalidad?
Dos magnitudes son proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número. En una tabla, se comprueba que todas las columnas dan el mismo resultado al dividir la segunda fila entre la primera.
¿Qué es el producto cruzado?
Es un método para hallar un número desconocido en una tabla de proporcionalidad de 4 casillas: se multiplican en diagonal los dos números conocidos que se corresponden, y luego se divide entre el cuarto número.
¿A qué edad se aprende la proporcionalidad?
Las primeras situaciones de proporcionalidad (doblar, triplicar) se abordan hacia los 9 años. La tabla de proporcionalidad y el coeficiente se aprenden hacia los 10-11 años, y el producto cruzado se formaliza hacia los 11-12 años.