Was ist Proportionalität?
Zwei Größen sind proportional, wenn sie immer im gleichen Verhältnis zu- oder abnehmen. Beispiel: Der Preis einer Tüte Bonbons ist proportional zur Anzahl der gekauften Tüten — 2 Tüten kosten doppelt so viel wie 1 Tüte, 3 Tüten dreimal so viel, und so weiter.
Das ist nicht immer so! Das Alter einer Person ist nicht proportional zu ihrer Körpergröße (man wächst nicht unbegrenzt weiter), und der Preis einer Taxifahrt ist nicht immer proportional zur Strecke (oft gibt es einen festen Grundpreis).
Die Verhältnistabelle
Um Proportionalität zu prüfen, ordnet man die Daten in einer Tabelle mit zwei Zeilen an: eine Zeile pro Größe.
| Anzahl Tüten | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| Preis in € | 3 | 6 | 15 |
Der Preis ist proportional zur Anzahl der Tüten: jede Spalte, geteilt, ergibt 3
Um zu prüfen, ob die Tabelle wirklich proportional ist, teilt man die zweite Zeile durch die erste, Spalte für Spalte: Ergibt sich immer dieselbe Zahl, ist es proportional. Hier: 3÷1=3, 6÷2=3, 15÷5=3 → die Tabelle ist tatsächlich proportional.
Der Proportionalitätsfaktor
Diese eine Zahl, die immer wieder auftaucht (hier: 3), nennt man den Proportionalitätsfaktor. Um einen beliebigen fehlenden Wert zu berechnen, muss man nur mit diesem Faktor multiplizieren.
Der Dreisatz
Wenn der Proportionalitätsfaktor keine runde, leicht im Kopf zu berechnende Zahl ist, benutzt man den Dreisatz: Man multipliziert über Kreuz die beiden bekannten, sich entsprechenden Zahlen und teilt dann durch die verbleibende Zahl.
Beispiel: 4 Stifte kosten 6 €. Wie viel kosten 10 Stifte?
| Stifte | 4 | 10 |
|---|---|---|
| Preis in € | 6 | ? |
- Ich multipliziere über Kreuz die beiden bekannten Zahlen, die nicht in derselben Spalte stehen: 6 × 10 = 60.
- Ich teile durch die verbleibende Zahl (die in der Spalte mit dem Unbekannten steht): 60 ÷ 4 = 15 €.
Fehler vermeiden
- Proportionalität überall anwenden, auch wenn die Situation nicht dazu passt (z. B. ein Tarif mit festem Grundpreis).
- Die falsche Diagonale beim Dreisatz multiplizieren.
- Vergessen zu prüfen, ob das Ergebnis mit dem Proportionalitätsfaktor übereinstimmt.
- Proportionalität mit einer einfachen Zunahme verwechseln: Eine Größe, die zunimmt, ist nicht zwangsläufig proportional zu einer anderen.
Gelöste Übungen
3 kg Äpfel kosten 6 €. Wie viel kosten 5 kg?
Ein Rezept für 4 Personen braucht 200 g Mehl. Wie viel für 6 Personen?
Ist diese Tabelle proportional? 2→5, 4→9
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Zu den Übungen →Häufige Fragen
Wie erkennt man eine proportionale Zuordnung?
Zwei Größen sind proportional, wenn das Vervielfachen der einen die andere um denselben Faktor vervielfacht. In einer Tabelle prüft man, ob jede Spalte denselben Wert ergibt, wenn man die zweite Zeile durch die erste teilt.
Was ist der Dreisatz?
Es ist eine Methode, um eine fehlende Zahl in einer 4-Felder-Verhältnistabelle zu finden: Man multipliziert über Kreuz die beiden bekannten Zahlen, die sich nicht in derselben Spalte befinden, und teilt dann durch die vierte Zahl.
In welchem Alter lernt man Proportionalität?
Die ersten proportionalen Situationen (verdoppeln, verdreifachen) begegnet man ab etwa 9 Jahren. Die Verhältnistabelle und der Proportionalitätsfaktor werden mit etwa 10–11 Jahren gelernt, und der Dreisatz wird ab etwa 11–12 Jahren formalisiert.